Conhecimento Perigoso - Parte I

Documentário Conhecimento Perigoso



No documentário Conhecimento Perigoso (Dangerous Knowlegde, 2007) produzido pela BBC4, David Malone analisa a vida de 3 grandes matemáticos e um grande físico – Georg Cantor, Ludwig Boltzmann, Kurt Godel e Alan Turing. A busca desses cientistas pelo entendimento profundo de certas leis científicas foi tão intensa que os levou à loucura e à morte.

A matemática é recheada de exemplos de certos “conhecimentos perigosos” que levaram ao assombro de matemáticos. Certas descobertas levaram a ruína de certos paraísos matemáticos.

O nosso primeiro exemplo de um “conhecimento perigoso” são os números irracionais. Os números irracionais representavam uma ruptura da tradição aritmo-geométrica pregada pelos pitagóricos baseada nos números inteiros. O escândalo dos racionais era tão patente que se revelava através do teorema de Pitágoras. A lenda conta que Pitágoras ficou tão enfurecido com o autor da descoberta dos números irracionais que o condenou ao afogamento.

O primeiro matemático analisado no documentário é Georg Cantor. Cantor se deparou com uma verdade incrível e aterrorizante. Ele mostrou que existem infinitos e infinitos maiores e infinitos ainda maiores. Ele provou que nem todos os infinitos têm a mesma cardinalidade. Ele descobriu que existia infinitos enumeráveis e infinitos não enumeráveis.

Uns dos resultados esquisitos relacionados com o infinito encontrado por Cantor é que possível definir uma bijeção entre naturais N e os inteiros Z mesmo sabendo N está contido em Z. Considere a seguinte bijeção f: N -> Z definida da seguinte maneira:
f(x) =   (x/2,se x é par
           -(x+1)/2,se x é impar)
Note que essa bijeção é feita mapeando os números pares nos inteiros positivos e os números ímpares nos inteiros negativos.

Hilbert apresentou este fato matemático de maneira simples e intuitiva através de uma metáfora conhecida como Hotel de Hilbert.  

Considere um hotel hipotético com infinitos quartos, todos ocupados, isto é, todos os quartos contêm um hóspede. Suponha que um novo hóspede chega e gostaria de se acomodar no hotel. Como realizar esta tarefa no Hotel de Hilbert?

O hóspede do quarto 1 se moveria para o quarto 2, o hóspede do quarto 2 para o quarto 3 e assim por diante. Agora, podemos acomodar o novo hóspede no quarto 1, que agora está vago.

Imagine que um ônibus com uma quantidade infinita de passageiros querendo se instalar no Grande Hotel de Hilbert. Como realizar esta tarefa? Deixaremos para o leitor este exercício J

Cantor ficou ainda mais impressionado quando descobriu que seu Hotel de Hilbert poderia acomodar infinitos ônibus com infinitos passageiros. O fato acima exemplifica bem a natureza inerentemente contra-intuitiva dos conceitos manipulados por Cantor. O próprio Cantor, certa vez escrevendo a Dedekind sobre seus resultados, disse: “Eu vejo isso, mas não acredito”.

Infelizmente, a teoria de Cantor enfrentou grande resistência entre os matemáticos da época. Russel conseguiu mostrar que a teoria dos conjuntos criada por Cantor levava uma contradição. Essa contradição ficou conhecida como Paradoxo de Russel. Este paradoxo foi um duro golpe na saúde de Cantor conduzindo-o a um esgotamento nervoso.

Podemos entender um pouco da natureza auto-contraditória do paradoxo de Russel através da metáfora do paradoxo do barbeiro:

O paradoxo considera uma aldeia onde, todos os dias, um barbeiro faz a barba de todos os homens que não se barbeiam sozinhos e não faz a barba de quem se barbeia sozinho. Isso vale para todos que estão na aldeia. Ora tal aldeia não pode existir!

• Se o barbeiro é um homem que não se barbeia sozinho, então ele deve fazer a barba a si mesmo imediatamente, tornando-se um homem que se barbeia sozinho.

• Se agora ele é um homem que se barbeia sozinho, então ele deve parar imediatamente de fazer a própria barba, tornando-se um homem que não se barbeia sozinho.

Bertrand Russel constata que as raízes desse paradoxo estão nos círculos viciosos e estes devem ser evitados por meio da seguinte regra: “Se, admitindo que uma dada coleção tenha um total, ela tivesse membros apenas definíveis em termos desse total, então a dita coleção não tem um total”. Um grande número de extensões da teoria dos conjuntos de Cantor foi desenvolvido para impedir o surgimento do paradoxo de Russel.

Note que no paradoxo do barbeiro temos o problema de círculos viciosos, o barbeiro é um membro de uma totalidade (aldeia) e ele é definível em termos da existência dessa totalidade. Note que se especificamos Anão como o homem mais baixo do Brasil. A totalidade dos habitantes do Brasil é pressuposta e a partir dela especificamos um elemento em particular (o Anão). Note que o problema reside na pressuposição ou não de uma totalidade.

O trabalho de Cantor é diferente dos demais por que Cantor acreditava no infinito real e não na infinidade em potencial aceita pelos matemáticos. O infinito em potencial pode ser entendido como um processo infinito que tem como saída uma quantidade infinita de números finitos. No entanto, o limite nunca pode ser atingido. Cantor acreditava na existência do infinito real como um número que é o limite atingido por um processo infinito chamado de número transfinito. O número transfinito representa o tamanho do conjunto infinito ou número de passos executados pelo processo infinito para gerar todos os elementos do conjunto infinito. No trabalho de Canto, o número transfinito representa a cardinalidade do conjunto naturais.

Nos últimos anos de vida, Cantor tentou incessantemente provar a “hipótese do contínuo”: Não existe nenhum conjunto com mais elementos do que o conjunto dos números inteiros e menos elementos do que o conjunto dos números reais. Somente em 1963, Paul Cohen provou a indemonstrabilidade desta hipótese na teoria dos conjuntos.

Depois de assombrar o mundo com a sua hierarquia do infinito, Cantor morreu em um hospital psiquiátrico em Halle.

David Hilbert reconhecendo a grande importância do trabalho desenvolvido por Cantor disse:
"Ninguém nos poderá expulsar do Paraíso que Cantor criou."

Referências:

• Um breve passeio ao infinito real de cantor
• No paraíso, sem convicção...(uma explicação do Programa de Hilbert)
• http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/cantor/teoriamatem.htm 

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