Frações contínuas

Uma fração contínua é uma expressão obtida a partir de um processo iterativo para representação de um número como a soma de sua parte inteira mais o inverso da sua parte fracionária. O processo termina quando o número não tem uma parte fracionária. Note que este processo pode ser utilizado para representação dos números racionais e irracionais.

Considere o seguinte exemplo:
$\dfrac{415}{93}$ = 4 + $\dfrac{43}{93}$ = 4 + $\dfrac{1}{\frac{93}{43}}$
$\dfrac{93}{43}$  = 2 + $\dfrac{7}{43}$  = 2 + $\dfrac{1}{\frac{43}{7}}$
$\dfrac{43}{7}$   = 6 + $\dfrac{1}{7}$ = 6 + $\dfrac{1}{\frac{7}{1}}$
$\dfrac{7}{1}$    =  7 + 0

Este processo produz a seguinte expressão:
$4+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{6+\cfrac{1}{7}}}$

Esta expressão pode ser abreviada usando a seguinte notação
[4;2,6,7]



Saída

[4;[2;[6;[7;]]]]

A representação usando frações contínuas tem várias propriedades desejáveis:

1. A representação usando frações contínuas para um número racional é finita e somente os números racionais tem representação finita. Usando a representação decimal, alguns números tem representação finita e outros  são representados por dízimas periódicas. Por exemplo,
Representação decimal
$\dfrac{4}{27} $ =  0.148148148148….
Representação usando frações contínuas:
$\dfrac{4}{27} $ = [0;6,1,3]

Sobre os problemas da representação decimal leia:
0,999... OU “COMO COLOCAR UM BLOCO QUADRADO EM UM BURACO REDONDO”

O mesmo problema acontece na representação de números reais na base 2:
http://marathoncode.blogspot.com.br/2013/01/representacao-do-ponto-flutuante-em.html

2. A representação usando frações contínuas reduzidas, ou seja, com todos os numeradores iguais a 1, é sempre única.
3. A representação usando frações contínuas de números irracionais é única.
4. A representação usando frações contínuas de alguns números irracionais parece ser menos randômica que a representação decimal. Por exemplo,

• Representação decimal $\sqrt{2}$ = 1,4142135623730950488016887242097...
• Representação usando frações contínuas $\sqrt{2}$ =  [1;2,2,2,…]

5. A representação usando frações contínuas pode ser usada para obter aproximações bastando  interromper o processo a qualquer momento.

Considere o seguinte exemplo:

Note que as seguintes propriedades são válidas:
$(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=1$
$(\sqrt{2}+1) = \dfrac{1}{(\sqrt{2}-1)}$

A fração contínua de $\sqrt{2}$:

$\sqrt{2}$        = 1 + ($\sqrt{2}$-1)  = 1 + $\dfrac{1}{\sqrt{2}-1}$
$(\sqrt{2}+1)$ = 2 +  ($\sqrt{2}$-1) = 2 + $\dfrac{1}{\sqrt{2}-1}$

O processo repete-se indefinidamente. Logo,

$\sqrt{2}$ = [1;2,2,...]

Podemos usar essa ideia para encontrar uma aproximação para $\sqrt{2}$

Saída:

1.000000000000000000
1.500000000000000000
1.399999999999999911
1.416666666666666741
1.413793103448275801
1.414285714285714368
1.414201183431952558
1.414215686274509887
1.414213197969543145
1.414213624894869570
1.414213551646054778
1.414213564213564256
1.414213562057320406
1.414213562427273363
1.414213562363799470
1.414213562374689870
1.414213562372821364
1.414213562373141997
1.414213562373086930
1.414213562373096478
1.414213562373094923
1.414213562373095145
Numero de iteracoes: 21

Alguns exemplos de representação de números irracionais usando frações contínuas:

• $\sqrt{19} = [4;2,1,3,1,2,8,2,1,3,1,2,8,…]$. O padrão repete-se com período 6.
• e =  [2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,…]
• $\pi$ =  [3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,…]. 

Fonte:
http://en.wikipedia.org/wiki/Continued_fraction
http://pt.wikipedia.org/wiki/Fra%C3%A7%C3%A3o_cont%C3%ADnua

Leia também:
O uso das Frações Contínuas como tema articulador no Ensino Médio

Quem quiser se aprofundar:
http://www.sbm.org.br/docs/coloquios/SE-1.06.pdf

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